Մաթեմատիկա

Իրական և կեղծ մետաղադրամներ

Պատմությունը

Հնում  մետաղները   ամենայն ուշադրությամբ կշռվում էին լծակավոր կշեռքի վրա։

Հնում ոսկին, արծաթը կամ մթերքը հաճախ կշռում էին լծակավոր կշեռքով։Լծակավոր կշեռքը կազմված է անշարժ ձողի վրա ամրացված 2 շարժական լծակներից։ Այս կշեռքի հիմնական բաղադրիչը ձողն է։ Ձողի երկու թևերը խաղում են լծակի բազուկի դեր, սրանց ծայրերից կախվում են կշռաթասեր, որոնցից մեկում դրվում է կշռվող իրը կամ նյութը, մյուսում՝ կշռաքարը: Կշռման պրոցեսը համարվում է կայացած է, եթե այդ երկու հակադիր մոմենտները միմյանց հավասարակշռում են: Կշեռքի լծակի թևերը կարող են լինել տարբեր երկարության, եթե կշռաքարը պարունակող թևը երկար է, դա թույլ է տալիս փոքր կշռաքարերով չափել ծանր բեռներ:

Հնում   լծակավոր կշեռքի միջոցով  մետաղադրամների   ավելի  ծանր լինելը պարզում էին   հետևյալ կերպ՝ լծակավոր  կշեռքն  ուներ  2 կշռաթաս։ Կշեռքի յուրաքանչյուր կշռաթասերի մեջ  դնում էին մետաղադրամ։    Կշեռքի այն կշռաթասը, որը ավելի  ներքև էր իջնում, դրա մեջ էլ գտնվում էր  ավելի ծանր մետաղադրամը։

Պարզվում է, որ մետաղադրամների թեթև կամ կեղծ լինելը մենք կարող ենք պարզել լծակավոր կշեռքի միջոցով։ Երկու միատեսակ մետաղադրամներից ավելի թեթևը  կեղծ է։

Օրինակ 1՝   2 միանման մետաղադրամներից մեկը կեղծ է։   Լծակավոր  կշեռքի ամնաքիչը  քանի՞  կշռումով  կարող ենք գտնել կեղծ մետաղադրամը։ Ինչպե՞ս  կարելի է դա պարզել։

Լուծում՝

Քանի որ լծակավոր  կշեռքն  ունի 2 կշռաթաս,  ապա  կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ կդնենք 2։2=1 մետաղադրամ։ Քանի որ երկու միատեսակ մետաղադրամներից ավելի թեթևը  կեղծ է, ապա կշեռքի այն կշռաթասը, որը ավելի վեր կբարձրանա, դրա մեջ  էլ կգտնվի կեղծ մետաղադրամը։

Օրինակ՝ 2․      3  միանման մետաղադրամներից մեկը կեղծ է։ Լծակավոր  կշեռքի ամնաքիչը  քանի՞  կշռումով  կարող ենք գտնել կեղծ մետաղադրամը։ Հայտնի է, որ կեղծ մետաղադրամը թեթև է  մնացածներից։

Լուծում՝

Քանի որ լծակավոր  կշեռքն  ունի 2 կշռաթաս,  ապա  2 կշռաթասերից  յուրաքանչյուրի մեջ կդնենք 3։3=1  մետաղադրամ, իսկ մյուսը կպահենք ձեռքում(կամ կդնենք մի կողմ)։ Քանի որ երկու միատեսակ մետաղադրամներից ավելի թեթևը  կեղծ է, ապա կշեռքի այն կշռաթասը, որը ավելի վեր կբարձրանա, դրա մեջ  էլ կգտնվի կեղծ մետաղադրամը։ (Քանի որ լծակի այն կշռաթասը, որի մեջ  ավելի ծանր մետաղ է դրված ավելի ներքև է իջնում)։ Սակայն, եթե կշեռքը գտնվի հավասարակշռության մեջ, ապա կշեքի վրա դրված մետաղադրամները իրական են, ուրեմն  այն մետաղադրամը, որը չենք դրել կշռաթասերից  և ոչ մեկի մեջ, դա էլ կլինի կեղծը։

Լուծեք կեղծ և իրական մետաղադամների վերաբերյալ խնդիրները․

1 4  միանման մետաղադրամներից մեկը կեղծ է։ Ինչպե՞ս կարող ենք լծակավոր  կշեռքի 2 կշռումով  գտնել կեղծ մետաղադրամը։ Հայտնի է, որ կեղծ մետաղադրամը թեթև է  մնացածներից։

Քանի որ լծակավոր  կշեռքն  ունի 2 կշռաթաս,  ապա  2 կշռաթասերից  յուրաքանչյուրի մեջ կդնենք 1 մետաղադրամ։ Եթե երկու մետաղադրամները հավասար են, ապա երկուսն էլ իրական են։ Հետո կշռաթասերի մեջ կդնենք մնացած երկու մետաղադրամները։ Դրանցից թեթևը կլինի կեղծ մետաղադրամը։

Եթե առաջին կշռումից հետո մետաղադրամները հավասար չլինեն, ապա թեթև մետաղադրամը կլինի կեղծը։

2 8  միանման մետաղադրամներից մեկը կեղծ է։ Ինչպե՞ս կարող ենք լծակավոր  կշեռքի 3 կշռումով  գտնել կեղծ մետաղադրամը։ Հայտնի է, որ կեղծ մետաղադրամը թեթև է  մնացածներից։

Առաջին կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք չորս մետաղադրամ։ Կեղծ մետաղադրամը կլինի թեթև կշռաթասի մեջ։

Երկրորդ կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք երկու մետաղադրամ։ Կեղծ մետաղադրամը կլինի թեթև կշռաթասի մեջ։

Երրորդ կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք մեկ մետաղադրամ։ Կեղծ մետաղադրամը կլինի թեթև կշռաթասի մեջ։

3․ 5 միանման մետաղադրամներից մեկը կեղծ է։ Ինչպե՞ս կարող ենք լծակավոր  կշեռքի ամենաշատը 2 կշռումով  գտնել կեղծ մետաղադրամը։ Հայտնի է, որ կեղծ մետաղադրամը թեթև է  մնացածներից։

Առաջին կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք երկու մետաղադրամ։ Եթե հավասար լինեն ապա կեղծ մետաղադրաը կողքի դրվածն է։ Եթե հավասար չլինեն, ապա կեղծ մետաղադրամը գտնվում է թեթև կշռաթասի մեջ։ Երկրորդ կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք մեկ մետաղադրամ, թեթև կշռաթասի միջինը կլինի կեղծ մետաղադրամը։

4․ 10 միանման մետաղադրամներից մեկը կեղծ է։ Ինչպե՞ս կարող ենք լծակավոր  կշեռքի ամենաշատը 3 կշռումով  գտնել կեղծ մետաղադրամը։ Հայտնի է, որ կեղծ մետաղադրամը թեթև է  մնացածներից։

Առաջին կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք հինգ մետաղադրամ։ Կեղծ մետաղադրամը գտնվում է թեթև կշռաթասի մեջ։ Երկրորդ կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք երկու մետաղադրամ։ Եթե հավասար լինեն ապա կեղծ մետաղադրամը կողքի դրվածն է։ Եթե հավասար չլինեն, ապա կեղծ մետաղադրամը գտնվում է թեթև կշռաթասի մեջ։ Երրորդ կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք մեկ մետաղադրամ, թեթև կշռաթասի միջինը կլինի կեղծ մետաղադրամը։

5․ 6  միանման մետաղադրամներից մեկը կեղծ է։Ինչպե՞ս կարող ենք լծակավոր  կշեռքի 2 կշռումով  գտնել կեղծ մետաղադրամը։ Հայտնի է, որ կեղծ մետաղադրամը թեթև է  մնացածներից։

Առաջին կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք երեք մետաղադրամ։ Կեղծ մետաղադրամը գտնվում է թեթև կշռաթասի մեջ։ Երկրորդ կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք մեկ մետաղադրամ։ Եթե հավասար լինեն ապա կեղծ մետաղադրամը կողքի դրվածն է։ Եթե հավասար չլինեն, ապա կեղծ մետաղադրամը կլինի կողքի դրվածն է։ Եթե հավասար չեն, ուրեմն կեղծ մետաղադրամը թեթև կշռաթասի միջին է։

6․ 7  միանման մետաղադրամներից մեկը կեղծ է։Ինչպե՞ս կարող ենք լծակավոր  կշեռքի ամենաշատը 2 կշռումով  գտնել կեղծ մետաղադրամը։ Հայտնի է, որ կեղծ մետաղադրամը թեթև է  մնացածներից։

Առաջին կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք երեք մետաղադրամ։ Եթե հավասար են կեղծ մետաղադրամը կողքի դրվածն է, եթե հավասար չեն կեղծը թեթև կշռաթասի մեջ է։ Երկրորդ կշռումով կշռաթասերից յուրաքանչյուրի մեջ դնում էնք մեկ մետաղադրամ։ Եթե հավասար լինեն ապա կեղծ մետաղադրամը կողքի դրվածն է։ Եթե հավասար չլինեն, ապա կեղծ մետաղադրամը կլինի կշռաթասի միջինը։

7․9  միանման մետաղադրամներից մեկը կեղծ է։ Լծակավոր  կշեռքի ամնաքիչը  քանի՞  կշռումով  կարող ենք գտնել կեղծ մետաղադրամը։ Հայտնի է, որ կեղծ մետաղադրամը թեթև է  մնացածներից։

1 կշռումով

8 12  միանման մետաղադրամներից մեկը կեղծ է։ Լծակավոր  կշեռքի ամնաքիչը  քանի՞  կշռումով  կարող ենք գտնել կեղծ մետաղադրամը։ Հայտնի է, որ կեղծ մետաղադրամը թեթև է  մնացածներից։

3 կշռումով

Մաթեմատիկա

Քննարկում ենք՝

Խնդիր 1։  86մ ժապավենը բաժանե՛ք երկու այնպիսի մասերի, որ մեկը մյուսից 16մ-ով ե րկար լինի։

Լուծում

86-16=70

70:2=35

35+16=51

Պատասխան` 35մ, 51մ

Խնդիր 2։  Եթե անհայտ թիվը կրկնապատկենք, ստացվածը 64-ից 8 միավորով մեծ կլինի։ Գտե՛ք անհայտ թիվը։

Լուծում

64+8=72

72:2=36

Պատասխան` 36

Խնդիր 3։  Հեծանվորդն ու հետիոտնը գյուղից քաղաք միաժամանակ շարժվեցին։ 2ժ հետո նրանց միջև հեռավորությունն ինչպիսի՞ն կլինի, եթե հեծանվորդը ժամում 7կմ ավելի էր անցնում, քան հետիոտնը։

Լուծում

7×2=14

Պատասխան` 14կմ

Խնդիր 4։ Մեքենան 3 րոպեում անցնում է 3 կմ։ Որքա՞ն հեռավորություն կանցնի մեքենան 2 ժամ 45 րոպեում։

Լուծում

2ժ 45ր=165ր

165:3=55ր

55×3=165կմ

Պատասխան` 165կմ

Խնդիր 5։ Քառակուսու կողմը 15մ է։ Քառակուսու մի կողմը 9մ-ով փոքրացնենք, մյուսը՝ 12մ-ով։ Գտե՛ք ստացված ուղղանկյան մակերեսը։

Լուծում

15-9=6

15-12=3

6×3=18մ2

Պատասխան` 18մ2

Տեքստային խնդիրներ

Պարապմունք 59

1․ Երկու թվերից մեկը 75-ն է, իսկ մյուսը դրանից մեծ է 4 անգամ։ Այդ թվերի գումարը քանի՞ անգամ է մեծ փոքր թվից։

Լուծում

75+4×75=5×75

5×75:75=5

Պատասխան՝ 5 անգամ

2․ Երկու թվերից մեկը 75-ն է, իսկ մյուսը դրանից փոքր է 3 անգամ։ Այդ թվերի գումարը քանի՞ անգամ է մեծ փոքր թվից։

Լուծում

75:3=25

25+75=100

100:25=4

Պատասխան՝ 4 անգամ

3 Պապիկը 60կգ խաղողը լցրեց արկղի և զամբյուղի մեջ։ Արկղում եղավ 5 անգամ ավելի, քան զամբյուղում։ Նա որքա՞ն խաղող լցրեց յուրաքանչյուրի մեջ։

Լուծում

60:5=12կգ

12:2=6կգ

6×5=30կգ

Պատասխան՝ 30կգ արկղի մեջ, 6կգ զամբյուղի մեջ

4 Ուղղանկյան կողմերից մեկը 3 անգամ մեծ է մյուսից։ Գտի՛ր ուղղանկյան կողմերը, եթե պարագիծը 320 մմ է։

Լուծում

3+3+1+1=8

320:8=40մմ

40×3=120մմ

Պատասխան՝ 40մմ, 120մմ

5 Երկու տակառում կա ընդամենը 250լ հյութ։ Եթե առաջին տակառից 30լ լցնենք երկրորդի մեջ, ապա տակառներում հյութի քանակները կհավասարվեն։ Որքա՞ն հյութ կա յուրաքանչյուր տակառում։

Լուծում

250-30=220լ

220:2=110լ

110+30=140լ

Պատասխան՝ 140լ, 110լ

6 Հայկը 60մ ռետինե խողովակի համար վճարեց 1200դրամ պակաս, քան Արան վճարել էր այդ նույն խողովակից 75մ գնելու համար։ Հայկը որքա՞ն է վճարել իր գնած խողովակի համար։

Լուծում

75-60=15մ

1200:15=80դր

60×80=4800դր

Պատասխան՝ 4800դր

7 Դպրոցից 306 աշակերտ 18 տեղանոց և 24 տեղանոց 14 ավտոբուսներով գնացին Ծաղկաձոր հանգստանալու։ Յուրաքանչյուր տեսակից քանի՞ ավտոբուս էին վարձել աշակերտները։

Լուծում

18×14=252

306-252=54

24-18=6

54:6=9

14-9=5

Պատասխան՝ 9 հատ 24տեղ., 5 հատ 18տեղ.  

8․ Դաշտում արածում էին սագեր և կովեր։ Նրանց ընդհանուր գլխաքանակը 18 էր, իսկ ոտքերի թիվը՝ 56։ Քանի՞ կով և քանի՞ սագ էր արածում դաշտում։

Լուծում

18×2=36

56-36=20

20:2=10

18-10=8

Պատասխան՝ 10 կով, 8 սագ

Տեքստային խնդիրներ

1 Երկու թվերից մեկը 75-ն է, իսկ մյուսը դրանից մեծ է 4 անգամ։ Այդ թվերի գումարը քանի՞ անգամ է մեծ փոքր թվից։

Լուծում

75+4×75=5×75

5×75:75=5

Պատասխան՝ 5 անգամ

2․ Երկու թվերից մեկը 75-ն է, իսկ մյուսը դրանից փոքր է 3 անգամ։ Այդ թվերի գումարը քանի՞ անգամ է մեծ փոքր թվից։

Լուծում

75:3=25

25+75=100

100:25=4

Պատասխան՝ 4 անգամ

3 Պապիկը 60կգ խաղողը լցրեց արկղի և զամբյուղի մեջ։ Արկղում եղավ 5 անգամ ավելի, քան զամբյուղում։ Նա որքա՞ն խաղող լցրեց յուրաքանչյուրի մեջ։

Լուծում

60:5=12կգ

12:2=6կգ

6×5=30կգ

Պատասխան՝ 30կգ արկղի մեջ, 6կգ զամբյուղի մեջ

4 Ուղղանկյան կողմերից մեկը 3 անգամ մեծ է մյուսից։ Գտի՛ր ուղղանկյան կողմերը, եթե պարագիծը 320 մմ է։

Լուծում

3+3+1+1=8

320:8=40մմ

40×3=120մմ

Պատասխան՝ 40մմ, 120մմ

5 Երկու տակառում կա ընդամենը 250լ հյութ։ Եթե առաջին տակառից 30լ լցնենք երկրորդի մեջ, ապա տակառներում հյութի քանակները կհավասարվեն։ Որքա՞ն հյութ կա յուրաքանչյուր տակառում։

Լուծում

250-30=220լ

220:2=110լ

110+30=140լ

Պատասխան՝ 140լ, 110լ

6 Հայկը 60մ ռետինե խողովակի համար վճարեց 1200դրամ պակաս, քան Արան վճարել էր այդ նույն խողովակից 75մ գնելու համար։ Հայկը որքա՞ն է վճարել իր գնած խողովակի համար։

Լուծում

75-60=15մ

1200:15=80դր

60×80=4800դր

Պատասխան՝ 4800դր

7 Դպրոցից 306 աշակերտ 18 տեղանոց և 24 տեղանոց 14 ավտոբուսներով գնացին Ծաղկաձոր հանգստանալու։ Յուրաքանչյուր տեսակից քանի՞ ավտոբուս էին վարձել աշակերտները։

Լուծում

18×14=252

306-252=54

24-18=6

54:6=9

14-9=5

Պատասխան՝ 9 հատ 24տեղ., 5 հատ 18տեղ.  

8․ Դաշտում արածում էին սագեր և կովեր։ Նրանց ընդհանուր գլխաքանակը 18 էր, իսկ ոտքերի թիվը՝ 56։ Քանի՞ կով և քանի՞ սագ էր արածում դաշտում։

Լուծում

18×2=36

56-36=20

20:2=10

18-10=8

Պատասխան՝ 10 կով, 8 սագ

1 Երկու թվերից մեկը 75-ն է, իսկ մյուսը դրանից մեծ է 4 անգամ։ Այդ թվերի գումարը քանի՞ անգամ է մեծ փոքր թվից։

Լուծում

75+4×75=5×75

5×75:75=5

Պատասխան՝ 5 անգամ

2․ Երկու թվերից մեկը 75-ն է, իսկ մյուսը դրանից փոքր է 3 անգամ։ Այդ թվերի գումարը քանի՞ անգամ է մեծ փոքր թվից։

Լուծում

75:3=25

25+75=100

100:25=4

Պատասխան՝ 4 անգամ

3 Պապիկը 60կգ խաղողը լցրեց արկղի և զամբյուղի մեջ։ Արկղում եղավ 5 անգամ ավելի, քան զամբյուղում։ Նա որքա՞ն խաղող լցրեց յուրաքանչյուրի մեջ։

Լուծում

60:5=12կգ

12:2=6կգ

6×5=30կգ

Պատասխան՝ 30կգ արկղի մեջ, 6կգ զամբյուղի մեջ

4 Ուղղանկյան կողմերից մեկը 3 անգամ մեծ է մյուսից։ Գտի՛ր ուղղանկյան կողմերը, եթե պարագիծը 320 մմ է։

Լուծում

3+3+1+1=8

320:8=40մմ

40×3=120մմ

Պատասխան՝ 40մմ, 120մմ

5 Երկու տակառում կա ընդամենը 250լ հյութ։ Եթե առաջին տակառից 30լ լցնենք երկրորդի մեջ, ապա տակառներում հյութի քանակները կհավասարվեն։ Որքա՞ն հյութ կա յուրաքանչյուր տակառում։

Լուծում

250-30=220լ

220:2=110լ

110+30=140լ

Պատասխան՝ 140լ, 110լ

6 Հայկը 60մ ռետինե խողովակի համար վճարեց 1200դրամ պակաս, քան Արան վճարել էր այդ նույն խողովակից 75մ գնելու համար։ Հայկը որքա՞ն է վճարել իր գնած խողովակի համար։

Լուծում

75-60=15մ

1200:15=80դր

60×80=4800դր

Պատասխան՝ 4800դր

7 Դպրոցից 306 աշակերտ 18 տեղանոց և 24 տեղանոց 14 ավտոբուսներով գնացին Ծաղկաձոր հանգստանալու։ Յուրաքանչյուր տեսակից քանի՞ ավտոբուս էին վարձել աշակերտները։

Լուծում

18×14=252

306-252=54

24-18=6

54:6=9

14-9=5

Պատասխան՝ 9 հատ 24տեղ., 5 հատ 18տեղ.  

8․ Դաշտում արածում էին սագեր և կովեր։ Նրանց ընդհանուր գլխաքանակը 18 էր, իսկ ոտքերի թիվը՝ 56։ Քանի՞ կով և քանի՞ սագ էր արածում դաշտում։

Լուծում

18×2=36

56-36=20

20:2=10

18-10=8

Պատասխան՝ 10 կով, 8 սագ

5-ի բաժանելիության հայտանիշը

Պարապմունք 58

Դասարանական առաջադրանքներ

1․ 336-ին ի՞նչ թվանշանով վերջացող թիվ պետք է գումարել, որպեսզի ստացված գումարը 5-ի բազմապատիկ լինի։ 4, 9

 2․ 418-ից ի՞նչ թվանշանով վերջացող թիվ պետք է հանել, որպեսզի ստացված գումարը 5-ի բազմապատիկ լինի։ 8, 3

3 5-ի բազմապատի՞կ են արդյոք հետևյալ արտահայտությունների արժեքները։

336+1124=1490-այո

336+1009=1345-այո

336+25=361-ոչ

7366-114=7252-ոչ

4․ Գրի՛ր 16-ի բոլոր բաժանարարները և 16-ի երեք բազմապատիկ։

բաժարարներ-1, 2, 4, 8, 16     

բազմապատիկներ-32, 48, 64

Տնային առաջադրանքներ

1 Ասա՛ մի այնպիսի թիվ, որը գումարելով 234-ին՝ ստացված գումարը 5-ի բաժանվի առանց մնացորդի։ 1, 6

2․ 4516-ից հանի՛ր մի այնպիսի թիվ, որ ստացված տարբերությունը 5-ի բազմապատիկ լինի։  1, 6

3 5-ի բազմապատի՞կ են արդյոք հետևյալ արտահայտությունների արժեքները։

3036-321=2715-այո

3362-27=3335-այո

4251+214=4465-այո

1326-196=1130-այո

2345-23=2322-ոչ

4․ Գրի՛ր 12-ի բոլոր բաժանարարները և 12-ի երեք բազմապատիկ։

 բաժարարներ-1, 2, 3, 4, 6, 12        

բազպատիկներ-24, 36, 48